Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Lấy C là điểm nằm bất kì trên nửa đường tròn tâm O sao cho AC = R. Lấy D thuộc cung nhỏ BC của đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AD và BC; F là giao điểm của đường thẳng AC và BD.
Xác định vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABCD lớn nhất.
#Cầu solution.
Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho \(DM=DB\)
\(\Rightarrow CD+DB=CD+DM=CM\Rightarrow C_{ABCD-max}\) khi \(CM_{max}\)
\(DM=DB\Rightarrow\widehat{DMB}=\widehat{DBM}\)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{DMB}+\widehat{DBM}\Rightarrow\widehat{M}=\frac{1}{2}\widehat{CDB}\)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{M}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)
\(\Rightarrow M\) nhìn BC dưới 1 góc cố định \(\Rightarrow M,B,C\) thuộc đường tròn \(\left(O'\right)\) nhận BC làm 1 dây cung và có số đo các góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) \(=\widehat{BAC}\) \(\Rightarrow MC\) là 1 dây cung của \(\left(O'\right)\)
Giả sử \(CN\) là một đường kính của \(\left(O'\right)\Rightarrow\widehat{CBN}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)
\(\widehat{CNB}=\widehat{CMB}\) (cùng chắn BC) \(\Rightarrow\widehat{CNB}=\widehat{CAB}\) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCN}\)
Xét 2 tam giác vuông CAB và CBN có
\(\widehat{ACB}=\widehat{CBN}=90^0\) ; BC là cạnh chung; \(\widehat{ABC}=\widehat{BCN}\)
\(\Rightarrow\Delta CAB=\Delta CBN\Rightarrow AB=CN\Rightarrow CN=2R\)
\(\widehat{ABC}=\widehat{BCN}\Rightarrow AB//CN\Rightarrow ABNC\) là hbh \(\Rightarrow N\) cố định \(\Rightarrow\left(O'\right)\) cố định
Do CM là dây cung \(\Rightarrow CM\le CN\Rightarrow CM_{max}=CN\) khi \(M\equiv N\)
Khi đó \(\Delta CBM\) vuông tại B \(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{DBC}\) (phụ \(\widehat{M}=\widehat{DBM}\))
\(\Rightarrow\Delta DBC\) cân tại D \(\Rightarrow DC=DB\Rightarrow D\) là điểm chính giữa cung BC
Nguyễn Thị Ngọc Thơ chỉ em cái bài kia với
\(A=\frac{8a}{3}+3b+\frac{18}{a}+\frac{21}{b}\\ \\ \\ \left(a+b\ge6\right)\)
