Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm M (M thuộc AB) . Kẻ đường thẳng d qua M và vuông góc với OM, đường thẳng d cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Chứng minh:
a) Góc AMB = 90 độ
b) Góc COD =90 độ
c) AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn
e) AM vuông góc với CO, BM vuông góc với OD
f) Gọi I là giao điểm của AM và CO
J là giao điểm của BM và OD
Chứng minh IJ song song với AB
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
b: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DB là tiếp tuyến
DM là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(OM^2=MC\cdot MD=AC\cdot BD=R^2\)
=>\(AC\cdot BD\) không đổi
d: Ta có: CM=CA
OM=OA
Do đó: OC là đường trung trực của MA
hay OC\(\perp\)MA
Ta có: DM=DB
OM=OB
Do đó: OD là đường trung trực của MB
=>OD\(\perp\)MB
