Question

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 . Cmr : n⁴ + 4ⁿ là hợp số

Answer 1

-Nếu n là số chẵn thì n⁴+4ⁿ là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

-Nếu n là số lẻ , đặt n=2k+1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0

n⁴+4^2k+1=(n²)²+(2.4^k)²-2.n².2.4^k

=(n²+2.4^k)²-(2n.2^k)²

=(n²+2.4^k-2n.2^k)(n²+2.4^k+2n.2^k)

Vì n²+2n.4^k+2n.2^k > n²+2.4^k-2n.2^k=n²+4^k-2n.2^k+4^k

=(n-2^k)²+4^k>4

Suy ra n⁴+4^{2k+1 là hợp số}

Vậy n⁴+4ⁿ là hợp số với mọi số tự nhiên n >1