Question

 Cho \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Hỏi \(n^2+2006\) là số nguyên tố hay là hợp số?

Answer 1

Đặt n² + 2006 = a² (a ∈Z)

=> 2006 = a² - n² = (a - n)(a + n) (1)

Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2

=>a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ

+)TH1: a + n và a - n cùng lẻ => (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)

+)TH2: a + n và a - n cùng chẵn => (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)

Vậy không có n thỏa mãn n²+2006 là số chính phương

b)Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n không chia hết cho 3

=> n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∈N*)

+) n = 3k + 1 thì n² + 2006 = (3k + 1)² + 2006 = 9k² + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> n² + 2006 là hợp số 

+) n = 3k + 2 thì n² + 2006 = (3k + 2)² + 2006 = 9k² + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> n² + 2006 là hợp số

Vậy n² + 2006 là hợp số

Answer 2

n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n² đồng dư với 1 (mod 3)

n2+2006 đồng dư với 1+2006 (mod 3)

<=> n² + 2006 đồng dư với 2007 (mod 3) đồng dư với 0 (mod 3) (*Vì 2007 chia hết 3*)

=> n² +2006 chia hết 3

Vậy n² +2006 là hợp số