Ta có:
\(\frac{a}{a+b}\)>\(\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}\)>\(\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}\)>\(\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế ,ta được:
\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)>\(\frac{a}{a+b+c}\)+\(\frac{b}{a+b+c}\)+\(\frac{c}{a+b+c}\)
=> M> \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)=1
=> M>1 (1)
Ta lại có:
\(\frac{a}{a+b}\)<\(\frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}\)<\(\frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}\)<\(\frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế,ta được:
\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)<\(\frac{a+c}{a+b+c}\)+\(\frac{b+a}{a+b+c}\)+\(\frac{c+a}{a+b+c}\)
=> M<\(\frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}\)=\(\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)=2
=> M<2 (2)
Từ (1) và (2) => 1<M<2.
=> M không phải là số nguyên (đpcm)
Ta có: M=(a/a+b)+(b/b+c)+(c/c+a)=(a+b+c)/(a+b+b+c+c+a)=(a+b+c)/2(a+b+c)=1/2
=>M=1/2,mà 1/2 không thuôc Z
Vậy M không phải là số nguyên
