Question

Cho M = 1 + 3 + 3\(^2\) + .... + 3\(^{49}\)

a. Chứng minh M chia hết cho 13

b. Tính M? Chứng minh 2M + 3 là một lũy thừa của 3

c. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3\(^n\)

d. Tìm chữ số tận cùng của M?

Answer 1

Giải:

a) M = 1+ 3 + 3² + ... + 3⁴⁹

M = (1 + 3 + 3²) + ... + (3⁴⁷ + 3⁴⁸ + 3⁴⁹)

M = 1 . (1 + 3 + 3²) + ... + 3⁴⁷ . (1 + 3 + 3²)

M = 1 . 13 + ... + 3⁴⁷ . 13

M = 13 . (1 + ... + 3⁴⁷)

Vì 13 \(⋮\) 13 nên suy ra 13 . (1 + ... + 3⁴⁷) \(⋮\) 13

Vậy M \(⋮\) 13.

b) M = 1 + 3 + 3² + ... + 3⁴⁹

=> 3M = 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁵⁰

3M - M = (3 + 3² + 3³ + ... + 3⁵⁰) - (1 + 3 + 3² + ... + 3⁴⁹)

=> 2M = 3⁵⁰ - 1

=> M = \(\frac{3^{50}-1}{2}\)

Vậy M = \(\frac{3^{50}-1}{2}\)