Question

cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b\le5\\a+b+c=13\end{matrix}\right.\) . cmr abc\(\le50\)

Answer 1

Lời giải:

Từ \(a+b+c=13\Rightarrow c=13-(a+b)\)

Khi đó \(M=abc=ab(13-a-b)\). Vì \(a+b\leq 5\rightarrow 13-a-b>0\)

Hơn nữa, áp dụng BĐT AM-GM ta có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\)

Do đó \(M=ab(13-a-b)\leq \frac{(a+b)^2(13-a-b)}{4}\)

Đặt \(a+b=t\Rightarrow t\in (0;5]\)

Ta cần chứng minh \(M\leq 50\Leftrightarrow t^2(13-t)\leq 200\)

\(\Leftrightarrow (t-5)(t^2-8t-40)\geq 0\) \((\star)\)

Vì \(t\in (0;5]\Rightarrow t-5\leq 0\).

Và \(t^2-8t-40=t(t-5)-3t-40<0\) với \(0< t\leq 5\)

Do đó, \((t-5)(t^2-8t-40)\geq 0\). tức là BĐT \((\star)\) luôn đúng

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=\left (\frac{5}{2},\frac{5}{2},8\right)\)