Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia
DC lấy điểm N sao cho DN = BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường
thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở điểm F.
a) Chứng minh tứ giác ANFM là hình vuông
b) Chứng minh rằng điểm F nằm trên đường phân giác của góc MCN
c) Chứng minh AC ┴ CF
d) Gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng ba điểm B,D,O thẳng hành và tứ
giác BOFC là hình thang
(Đề là trên tia BC nha)
â) Xét tam giác ABM va tam giac ADN ( ABM = ADN=90) , co :
BM=DN(gt)
AD=AB(ABCD là hinh vuông)
=> tam giac ABM = tam giac ADN (cgv-cgv)
=>AN=AM va MAB = NAD
Ta co : MAB + DAM=90
Ma MAB =NAD (cmt)
=>NAD + DAM =90
<=> NAM =90
Xet tg ANFM , co : AN//FM (gt) va AM//NF (gt)
=> ANFM la hbh
Ma NAM =90 (cmt) ; AN=AM (cmt)
=> ANFM là hình vuông ( Vì đây là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau )
b) Từ F kẻ FP vuông góc với NC , FH vuông góc với BC
Xét tam giác NPF và tam giác MHF (APF =HMF) , co :
MF = FN (AMFN la hinh vuong )
NFP=MFH ( cùng phụ với PFM )
=> tam giác NPF = tam giác MHF (c.huyen-gn)
=> PF=FH
Theo định lý đảo của tia phân giác trong NCM , co :
PF=FH(cmt)
Ma PF \(\perp\) PC (cách ve ) ; FH \(\perp\) CH
=> F nằm trên tia phân giác của NCM
c)Nói C và F , ta được CF là tia phân giác của NCM (câu b)
Ta có : PCF + FCH =PCH =90
Mà PCF = FCH ( CF là tia phân giác NCM)
=> PCH = 2 PCF (1)
Ta co : ACD + ACB = DCB =90
Mà ACD = ACB ( AC là tia phân giác DCB ; ABCD là hình vuông )
=> DCB = 2 ACD (2)
Từ (1) vả (2) => PCH + DCB = 2( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 ( PCF + ACD)
<=> 180 = 2 . ACF
<=> ACF = 90
=>AC \(\perp\) CF( dpcm )
đ) Gọi R là giao điểm của hai đường chéo tg ABCD là AC và BD
Xét tam giác AFC , co :
OA =OF ( gt)
AR = CR ( do 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường trong hình vuông ABCD )
=> OR là đường trung bình của tam giác AFC
=> O và R cùng thuộc 1 đường thẳng
Mặt khác , ta có : R \(\in\) BD ( cach ve )
=> O \(\in\) BD
=> O , B, D thẳng hàng
Ta có : OB //FC ( OR là đường trung bình )
=> BOFC là hình thang
