Question

Cho hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.

b) Chứng minh EFGH là hình chữ nhật.

c) Hình thoi ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác EFGH là hình vuông.

Answer 1

Hình vẽ:

Giải:

a) Xét tam giác ABD, có:

E là trung điểm AB

H là trung điểm AD

\(\Rightarrow\) EH là đường trung bình của tam giác ABD

=> EH//BD (1)

Xét tam giác CBD, có:

F là trung điểm BC

G là trung điểm CD

\(\Rightarrow\) FG là đường trung bình của tam giác CBD

=> FG//BD (2)

Từ (1) và (2) => EH//FG (3)

Tương tự ta chứng minh được: EF//HG(4)

Từ (3) và (4) => EFGH là hình bình hành

b) Ta có: EH//BD (chứng minh trên)

HG//AC (chứng minh trên)

Mặt khác \(AC\perp BD\) (Hai đường chéo của hình thoi)

\(\Leftrightarrow HG\perp EH\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EHG}=90^0\)

Mà EFGH là hình bình hành (câu a)

=> EFGH là hình chữ nhật

c) Để EFGH là hình vuông

\(\Leftrightarrow EH=HG\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{2}=\dfrac{AC}{2}\) (Tính chất của đường trung bình trong tam giác)

\(\Leftrightarrow BD=AC\)

Vậy ...