a) Xét ΔNMP có
A là trung điểm của MN(gt)
E là trung điểm của NP(gt)
Do đó: AE là đường trung bình của ΔNMP(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒AE//MP và \(AE=\frac{MP}{2}\)(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔMQP có
F là trung điểm của MQ(gt)
C là trung điểm của QP(gt)
Do đó: FC là đường trung bình của ΔMQP(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒FC//MP và \(FC=\frac{MP}{2}\)(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra FC=AE và FC//AE
Xét tứ giác AECF có FC//AE(cmt) và FC=AE(cmt)
nên AECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét ΔMNP có
A là trung điểm của MN(gt)
B là trung điểm của MP(gt)
Do đó: AB là đường trung bình của ΔMNP(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒AB//NP và \(AB=\frac{NP}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
Xét ΔNQP có
D là trung điểm của NQ(gt)
C là trung điểm của QP(gt)
Do đó: DC là đường trung bình của ΔNQP(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DC//NP và \(DC=\frac{NP}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(4)
Từ (3) và (4) suy ra AB//DC và AB=DC
Xét tứ giác ABCD có
AB//DC(cmt)
AB=DC(cmt)
Do đó: ABCD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: MNPQ là hình thang cân(gt)
nên MQ=NP(Hai cạnh bên của hình thang cân MNPQ)(5)
Xét ΔMNQ có
A là trung điểm của MN(gt)
D là trung điểm của NQ(gt)
Do đó: AD là đường trung bình của ΔMNQ(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒AD//MQ và \(AD=\frac{MQ}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra DC=AD
Hình bình hành ABCD có AD=CD(cmt)
nên ABCD là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Vậy: Khi tứ giác MNPQ là hình thang cân thì tứ giác ABCD là hình thoi
