Question

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Gọi M là trung điểm của CD,E là giao điểm của MA và BD,F là giao điểm của MB và AC.

a) Đường thẳng EF cắt AD,BC lần lượt tại H,N. Chứng minh:HE=EF=FN

b)Biết AB=7,5cm;CD= 12cm.Tính HN.

Answer 1

Bạn tự vẽ hình nha

a, Ta có : HE // DM => \(\frac{HE}{DM}=\frac{AE}{EM}\) ( 1 )

EF // MC => \(\frac{EF}{MC}=\frac{AE}{EM}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(\frac{HE}{DM}=\frac{EF}{MC}\)

Mà DM = MC => HE = EF ( * )

Ta có : EF // DM => \(\frac{EF}{DM}=\frac{BF}{FM}\) ( 3 )

FN // MC => \(\frac{FN}{MC}=\frac{BF}{FM}\) ( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => \(\frac{EF}{DM}=\frac{FN}{MC}\)

Mà DM = MC => EF = FN ( ** )

Từ ( * ) và ( ** ) => HE = EF = FN

b, Ta có : DM = MC = \(\frac{CD}{2}=\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Ta có : HE // AB => \(\frac{HE}{AB}=\frac{DH}{HA}\) ( 5 )

HE // DM => \(\frac{DM}{HE}=\frac{DH}{AH}\) ( 6 )

Từ ( 5 ) và ( 6 ) => \(\frac{HE}{AB}=\frac{DM}{HE}\)

=> HE² = AB.DM = 7,5.6 = 45

=> HE = \(3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

=> HN = HE + EF + FN

Mặt khác : HE = EF = FN

=> HN = 3.HE = \(3.3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\left(cm\right)\)