a) Kẻ CE⊥AD tại E
Xét tứ giác ABCE có
\(\widehat{A}=90^0\)(gt)
\(\widehat{B}=90^0\)
\(\widehat{AEC}=90^0\)(gt)
Do đó: ABCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Xét hình chữ nhật ABCE có AB=BC(gt)
nên ABCE là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
⇒\(\widehat{BCE}=90^0\) và AB=BC=EC=AE
Ta có: AB=AE(gt)
mà \(AB=\frac{AD}{2}\)(AD=2AB)
nên \(AE=\frac{AD}{2}\)
mà A,E,D thẳng hàng
nên E là trung điểm của AD
⇒AE=ED
mà AE=EC(cmt)
nên ED=EC=EA
Xét ΔDEC vuông tại E có EC=ED(cmt)
nên ΔDEC vuông cân tại E(định nghĩa tam giác vuông cân)
⇒\(\widehat{DCE}=45^0\)(số đo của một góc nhọn trong ΔDEC vuông cân tại E)
Ta có: \(\widehat{DCB}=\widehat{DCE}+\widehat{BCE}\)(tia CE nằm giữa hai tia CB,CD)
\(\Leftrightarrow\widehat{DCB}=90^0+45^0\)
hay \(\widehat{DCB}=135^0\)
Ta có: ΔDEC vuông tại cân tại E(cmt)
⇒\(\widehat{D}=45^0\)(số đo của một góc nhọn trong ΔDEC vuông cân tại E)
Vậy: Số đo lần lượt của các góc trong tứ giác ABCD là: \(\widehat{A}=90^0\); \(\widehat{B}=90^0\); \(\widehat{BCD}=135^0\); \(\widehat{D}=45^0\)
b) Ta có: \(EA=\frac{AD}{2}\)(cmt)
mà EA=EC(cmt)
nên \(CE=\frac{AD}{2}\)
Xét ΔACD có
CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AD(E là trung điểm của AD)
\(CE=\frac{AD}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔACD vuông tại C(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
⇒AC⊥CD
c) Ta có: AB=BC(gt)
mà AB=3cm(gt)
nên BC=3cm
Ta có: AD=2AB(gt)
hay \(AD=2\cdot3=6cm\)
Ta có: AB=AE=EC(cmt)
mà EA=ED(E là trung điểm của AD)
và AB=3cm
nên EC=ED=3cm
Áp dụng định lí pytago vào ΔDEC vuông tại E, ta được:
\(DC^2=DE^2+EC^2\)
\(\Leftrightarrow DC^2=3^2+3^2=18\)
hay \(DC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}cm\)
Chu vi hình thang ABCD(AD//BC) là:
AB+BC+CD+AD
\(=3+3+3\sqrt{2}+6=12+3\sqrt{2}\)(cm)
