Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đặng Thị Phương Anh

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B

AB=a, AA'=2a, A'C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A'C'; I là giao điểm của AM và A'C.

Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Võ Đông Anh Tuấn
2 tháng 4 2016 lúc 12:02

Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC 
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông : 
Áp dụng định lý Pytago : 
A'C² = A'A² + AC² 
<=> AC² = A'C² - A'A² 
<=> AC² = (3a)² - (2a)² 
<=> AC² = 9a² - 4a² 
<=> AC² = 5a² 
<=> AC = a√5 

Xét tam giác ABC vuông tại B : 
Áp dụng định lý Pytago : 
AC² = AB² + BC² 
<=> BC² = AC² - AB² 
<=> BC² = 5a² - a² 
<=> BC² = 4a² 
<=> BC = 2a 

S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a² 

Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C 
Xét tứ giác MC'M'A : 
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
=> MC'M'A là hình bình hành 
=> AM // M'C' 

Xét tam giác A'CI' 
* M là trung điểm A'C' 
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) ) 
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình ) 
=> A'I = II' (1) 

Xét tam giác A'MI và I'CM' 
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong ) 
* A'M = M'C 
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C ) 
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g ) 
=> I'C = A'I (2) 

Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C 
=> IC = 2a 
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3 

Xét tam giác A'AC và tam giác IHC 
* Chung góc C 
* Góc A'AC = Góc IHC = 90° 
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g ) 
=> A'C / IC = AA' / IH 
<=> IH = AA'.IC / A'C 
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3 

V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9 

b) Nối HB 
Xét tam giác ABC vuông tai B 
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5 

Xét tam AHB ; 
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC 
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5 
<=> HB² = 8a²/9 
<=> HB = 2a√2 / 3 

Xét tam giác IHB vuông tại H 
Áp dụng định lý Pytago : 
IB² = IH² + HB² 
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)² 
<=> IB² = 8a/3 
<=> IB = 2a√6 / 3 

Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a 
Áp dụng công thức Hê-rộng : 
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3 

S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81 
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81] 
S = √(180a^4 / 81) 
S = √20a^4 / 9 
S = 2a²√5 / 3 

Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5
 
Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC 
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông : 
Áp dụng định lý Pytago : 
A'C² = A'A² + AC² 
<=> AC² = A'C² - A'A² 
<=> AC² = (3a)² - (2a)² 
<=> AC² = 9a² - 4a² 
<=> AC² = 5a² 
<=> AC = a√5 

Xét tam giác ABC vuông tại B : 
Áp dụng định lý Pytago : 
AC² = AB² + BC² 
<=> BC² = AC² - AB² 
<=> BC² = 5a² - a² 
<=> BC² = 4a² 
<=> BC = 2a 

S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a² 

Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C 
Xét tứ giác MC'M'A : 
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
=> MC'M'A là hình bình hành 
=> AM // M'C' 

Xét tam giác A'CI' 
* M là trung điểm A'C' 
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) ) 
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình ) 
=> A'I = II' (1) 

Xét tam giác A'MI và I'CM' 
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong ) 
* A'M = M'C 
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C ) 
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g ) 
=> I'C = A'I (2) 

Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C 
=> IC = 2a 
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3 

Xét tam giác A'AC và tam giác IHC 
* Chung góc C 
* Góc A'AC = Góc IHC = 90° 
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g ) 
=> A'C / IC = AA' / IH 
<=> IH = AA'.IC / A'C 
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3 

V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9 

b) Nối HB 
Xét tam giác ABC vuông tai B 
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5 

Xét tam AHB ; 
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC 
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5 
<=> HB² = 8a²/9 
<=> HB = 2a√2 / 3 

Xét tam giác IHB vuông tại H 
Áp dụng định lý Pytago : 
IB² = IH² + HB² 
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)² 
<=> IB² = 8a/3 
<=> IB = 2a√6 / 3 

Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a 
Áp dụng công thức Hê-rộng : 
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3 

S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81 
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81] 
S = √(180a^4 / 81) 
S = √20a^4 / 9 
S = 2a²√5 / 3 

Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5
 

Các câu hỏi tương tự
Đặng Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Phương Khôi
Xem chi tiết
Võ Tân Hùng
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hà
Xem chi tiết
Hường Nguyễn
Xem chi tiết
Loan Ngô
Xem chi tiết
Trâm Anh
Xem chi tiết
Trương Văn Châu
Xem chi tiết
Bảo Duy Cute
Xem chi tiết