Question

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A. \(AB=a;AC=a\sqrt{3}\) và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A'ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA', B'C'

 

Answer 1

Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Suy ra :

\(\begin{cases}A'H\perp\left(ABC\right)\\AH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+3a^2}=a\end{cases}\)

Do đó : \(A'H^2=A'A^2-AH^2=3a^2=3a^2\Rightarrow A'H=a\sqrt{3}\)

Vậ \(V_{A'ABC}=\frac{1}{3}A'H.S_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{2}\)

Trong tam giác vuông A'B'H ta có :

\(HB'=\sqrt{A'B'^2+A'H^2}=2a\) nên tam giác B'BH cân tại B'

Đặt \(\varphi\) là góc giữa 2 đường thẳng AA' và B'C' thì \(\varphi=\widehat{B'BH}\)

Vậy \(\cos\varphi=\frac{a}{2.2a}=\frac{1}{4}\)