a/Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CNB\) có:
\(\widehat{MAB}=\widehat{NCB}=90\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{CNB}\left(SLT\right)\)
Suy ra: \(\Delta ABM\sim\Delta CNB\left(g-g\right)\)(*)
b/Tgiac AIB và AMB vuông nên ta có:
\(\widehat{ABM}+\widehat{BAI}=90\left(1\right),\widehat{ABM}+\widehat{AMB}=90\left(2\right)\)
từ (1),(2) ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{BAI}\)
Mà AB//NC nên \(\widehat{BAI}=\widehat{AED}\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AED}\)
Xét 2 tgiac vuông \(\Delta AMB\&\Delta DEA\) có:
\(\widehat{AMB}=\widehat{AED}\)
Suy ra \(\Delta AMB\sim\Delta DEA\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\Delta CNB\sim\Delta DAE\Rightarrow\frac{AD}{DE}=\frac{NC}{BC}=\frac{NC}{AD}\Rightarrow AD^2=DE.NC\)
c/Từ (**) có: \(\frac{AM}{DE}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD.AM=AB.DE=DE.DC\left(3\right)\)
\(\Delta NDM\sim\Delta NIE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{NM}{NE}=\frac{ND}{NI}\Rightarrow NM.NI=ND.NE\left(4\right)\)
Cộng (3) và (4) có: \(AD.AM+NI.NM=DE.DC+ND.NE=DE.DC+ND\left(ND+DE\right)=ND^2+DE.DC+ND.DE=ND^2+DE.DC\)(4)
Từ câu b\(\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{NC}\Rightarrow DE.NC=AD.BC=AD^2\left(5\right)\)
Thay (5) vào (4) được \(AD.AM+NI.NM=AD^2+ND^2=AN^2\)
