a) Ta có: \(AB=2\cdot AD\)(gt)
mà \(AB=2\cdot AE\)(E là trung điểm của AB)
nên AD=AE
Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)
\(DF=CF=\frac{DC}{2}\)(F là trung điểm của DC)
mà AB=DC(Hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)
nên AE=DF=EB=CF
Xét tứ giác AEFD có
AE//DF(AB//DC, E∈AB, F∈CD)
AE=DF(cmt)
Do đó: AEFD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AEFD có AE=AD(cmt)
nên AEFD là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Hình thoi AEFD có \(\widehat{DAE}=90^0\)(\(\widehat{DAB}=90^0\), E∈AB)
nên AEFD là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác AECF có
AE//CF(AB//CD, E∈AB, F∈CD)
AE=CF(cmt)
Do đó: AECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AF//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành AECF)
hay MF//EN
Xét tứ giác EBFD có
EB//DF(AB//CD, E∈AB, F∈CD)
EB=DF(cmt)
Do đó: EBFD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒ED//BF(Hai cạnh đối trong hình bình hành EBFD)
hay EM//FN
Xét tứ giác EMFN có
EM//FN(cmt)
EN//MF(cmt)
Do đó: EMFN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AEFD là hình vuông(gt)
⇒Hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, vuông góc với nhau và bằng nhau(Định lí hình vuông)
mà AF cắt DE tại M
nên AF⊥DE tại M, M là trung điểm chung của AF và DE
Ta có: AF⊥DE tại M(cmt)
nên \(\widehat{EMF}=90^0\)
Ta có: \(FM=\frac{AF}{2}\)(M là trung điểm của AF)
\(EM=\frac{ED}{2}\)(M là trung điểm của ED)
mà AF=ED(cmt)
nên FM=EM
Hình bình hành EMFN có \(\widehat{EMF}=90^0\)(cmt)
nên EMFN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật EMFN có FM=EM(cmt)
nên EMFN là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
