Question

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, có thể tích là V. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính theo V thể tích của S.MNPQ.

Thanks <3

Answer 1

\(V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}\)

Ta có: \(S_{AMQ}+S_{CNP}=\frac{1}{2}d\left(A;MQ\right).MQ+\frac{1}{2}d\left(C;NP\right).NP\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A;BD\right).\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(C;BD\right).\frac{1}{2}BD\)

\(=\frac{1}{4}S_{ABD}+\frac{1}{4}S_{CBD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}\)

Tương tự: \(S_{BMN}+S_{DPQ}=\frac{1}{4}S_{ABCD}\)

\(\Rightarrow S_{NMPQ}=S_{ABCD}-\left(\frac{1}{4}S_{ABCD}+\frac{1}{4}S_{ABCD}\right)=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

\(\Rightarrow V_{S.MNPQ}=\frac{1}{3}SA.S_{MNPQ}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}\right)=\frac{V}{2}\)