Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a\(\sqrt{2}\)

a) CMR các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) CMR (SAC) vuông góc với (SBD)

c)Tính góc giữa SC và mp (SAB)

d)Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

e)Tính khoảng cách giữa điểm A và mp (SCD).

 

 

Answer 1

a. Ta có : \(\begin{cases}AB\perp BC\left(ABCDvuong\right)\\SA\perp BC\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\end{cases}\)  \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\subset\left(SAB\right)\) nên \(BC\perp SB\) Vậy \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\)

tương tự ta có : \(\begin{cases}SA\perp DC\\AD\perp DC\end{cases}\) \(\Rightarrow DC\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\subset\left(SAD\right)\) nên \(SD\perp DC\) Vậy \(\Delta SDC\left(\perp D\right)\)

ta có \(SA\perp AD\) nên \(\Delta SAD\left(\perp A\right)\) 

Có \(SA\perp AB\) nên \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\)

Answer 2

b. Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) mà \(BD\subset\left(SBD\right)\) nên \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

 

Answer 3

c. Ta có : \(CB\perp\left(SAB\right)\) Hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB nên góc giữa SC và (SAB) là \(\widehat{CSB}\)

Xét \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\) ta có : Theo Pytago: \(SB^2=SA^2+AB^2\Leftrightarrow SB=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}\)

Xét \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\) ta có \(tan\widehat{CSB}=\frac{CB}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}\) \(\Rightarrow\widehat{BSC}=30^o\)

Answer 4

d. \(\left(SBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BC\)

Trong (SBD) có : \(SO\perp BD\)(O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông)

Trong (ABCD) có : \(AC\perp BD\) (hình chéo hình vuông)

Nên Góc giữa (SBD) và (ABCD) là \(\widehat{SOA}\)

. Ta có : \(AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\) 

Xét \(\Delta SOA\left(\perp A\right)\) có: \(tan\widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}=2\)

e.  Gọi H là hình chiếu của A lên SD

ta có : \(AH\perp SD\)

\(CD\perp AD\) (hai cạnh kề của hình vuông ABCD) 

\(CD\perp SA\) (vì \(SA\perp\left(ABCD\right)\) )

\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\) mà \(AH\subset\left(SCD\right)\) tại H \(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH\)  

Xét \(\Delta SAD\left(\perp H\right)\) có AH là đường cao: 

có : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{2a^2}\Rightarrow AH^2=\frac{2a^2}{3}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Vậy \(d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)