Question

cho hình chóp SABCD có AB=5\(\sqrt{3}\),BC=3\(\sqrt{3}\), góc BAD=BCD=90,SA=9 và SA vuông góc với đáy.Biết thể tích khối chóp bằng 66\(\sqrt{3}\) tính cot của góc giữa(SBD) và đáy

 

Answer 1

\(V=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABCD}\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{3V}{SA}=22\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB.AD+\dfrac{1}{2}BC.CD=22\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow5AD+3CD=44\) (1)

Mặt khác: \(\left\{{}\begin{matrix}BD^2=AB^2+AD^2=AD^2+75\\BD^2=BC^2+CD^2=CD^2+27\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AD^2+75=CD^2+27\Rightarrow AD^2+48=CD^2\) (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}AD=4\\CD=8\end{matrix}\right.\)

Từ A kẻ \(AH\perp BD\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAH\right)\) \(\Rightarrow\left(SBD\right)\)  và (ABCD) đều vuông góc (SAH)

\(\Rightarrow\widehat{SHA}\) là góc giữa (SBD) và đáy

Hệ thức lượng tam giác vuông ABD:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{91}{1200}\Rightarrow AH=\dfrac{20\sqrt{273}}{91}\)

\(cot\widehat{SHA}=\dfrac{AH}{SA}=\dfrac{20\sqrt{273}}{819}\)

Answer 2

gọi x là độ dài cạnh AD; y là độ dài cạnh CD

\(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{BAD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}.AB.AD+\dfrac{1}{2}BC.CD=\dfrac{1}{2}5\sqrt{3}x+\dfrac{1}{2}3\sqrt{3}y\)

\(\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.9.\left(\dfrac{1}{2}.5\sqrt[]{3}x+\dfrac{1}{2}3\sqrt{3}y\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(5x+3y\right)=66\sqrt{3}\\ \Rightarrow5x+3y=44\)

\(AH\perp BD\left(H\in BD\right)\\ cot\left(\left(SBD\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SHA}\Rightarrow cot\widehat{SHA}=\dfrac{SA}{AH}\)

Answer 3