Question

Cho hình bình hành ABCD với đường chéo Ac > BD. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; gọi G là chân đường kẻ từ B xuống AC.

a) CMR 2 tam giác CBG và ACF đồng dạng.

b) CMR: AB.AE + AD.AF = \(AC^2\)

Answer 1

Lời giải:
a)

Vì $BC\parallel AD\Rightarrow \widehat{BCG}=\widehat{CAF}$ (so le trong)

Xét tam giác $CBG$ và $ACF$

$\widehat{BCG}=\widehat{CAF}$ (cmt)

$\widehat{CGB}=\widehat{AFC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle CBG\sim \triangle ACF(g.g)

(đpcm)

b)

Xét tam giác $CBE$ và $CDF$ có:

$\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$

$\widehat{CBE}=180^0-\widehat{CBA}=180^0-\widehat{CDA}=\widehat{CDF}$

$\Rightarrow \triangle CBE\sim \triangle CDF(g.g)$

$\Rightarrow \frac{CB}{CD}=\frac{BE}{DF}\Rightarrow CB.DF=BE.CD$

$\Leftrightarrow AD.DF=BE.AB$

Do đó, kết hợp với định lý Pitago:
$AB.AE+AD.AF=AE(AE-BE)+AD(AD+DF)$

$=AE^2-AE.BE+AD^2+AD.DF=AE^2+AD^2-AE.BE+BE.AB$

$=AE^2+AD^2+BE(AB-AE)=AE^2+AD^2-BE^2=AE^2+BC^2-BE^2$

$=AE^2+EC^2=AC^2$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: