a) Ta có: \(MP=PN=\frac{MN}{2}\)(P là trung điểm của MN)
\(SQ=RQ=\frac{SR}{2}\)(Q là trung điểm của SR)
mà MN=SR(Hai cạnh đối của hình chữ nhật MNRS)
nên MP=PN=SQ=RQ
Ta có: MS=NR(Hai cạnh đối của hình chữ nhật MNRS)
mà \(MS=\frac{MN}{2}\)(gt)
và \(MP=PN=\frac{MN}{2}\)(P là trung điểm của MN)
nên MS=NR=MP=NP
Xét tứ giác MPQS có
MP//SQ(MN//SR, P∈MN, Q∈SR)
MP=SQ(cmt)
Do đó: MPQS là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành MPQS có \(\widehat{SMP}=90^0\)(Số đo của một góc trong hình chữ nhật MNRS)
nên MPQS là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật MPQS có MP=MS(cmt)
nên MPQS là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Xét tứ giác NPQR có
NP//QR(NM//RS, P∈MN, Q∈RS)
NP=QR(cmt)
Do đó: NPQR là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành NPQR có \(\widehat{RNP}=90^0\)(Số đo của một góc trong hình chữ nhật MNRS)
nên NPQR là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật NPQR có NP=NR(cmt)
nên NPQR là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác MPRQ có
MP//QR(MN//SR, P∈MN, Q∈SR)
MP=QR(cmt)
Do đó: MPRQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒MQ//PR(Hai cạnh đối trong hình bình hành MPRQ)
hay QH//PK
Xét tứ giác NPSQ có
NP//SQ(MN//SR, P∈MN, Q∈SR)
NP=SQ(cmt)
Do đó: NPSQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒PS//NQ(Hai cạnh đối trong hình bình hành NPSQ)
hay PH//QK
Ta có: MPQS là hình vuông(cmt)
⇒Hai đường chéo MQ và SP vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình vuông)
mà MQ cắt SP tại H
nên MQ⊥SP tại H, H là trung điểm chung của MQ và SP và MQ=SP
hay \(\widehat{QHP}=90^0\)
Ta có: \(PH=\frac{PS}{2}\)(H là trung điểm của PS)
\(QH=\frac{MQ}{2}\)(H là trung điểm của MQ)
mà MQ=PS(cmt)
nên PH=QH
Xét tứ giác PHQK có
PH//QK(cmt)
PK//HQ(cmt)
Do đó: PHQK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành PHQK có \(\widehat{QHP}=90^0\)(cmt)
nên PHQK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật PHQK có PH=QH(cmt)
nên PHQK là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
