Question

Cho hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)x-2y=1\\3x+ay=1\end{matrix}\right.\) (a là tham số)

a. Chứng tỏ hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi a.

b. Tìm a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x-y đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a+1\right)x-2ay=a\\6x+2ay=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a^2+a+6\right)x=a+2\Rightarrow x=\frac{a+2}{a^2+a+6}\)

\(\Rightarrow y=\frac{a-2}{a^2+a+6}\)

Do \(a^2+a+6=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0\) nên \(x;y\) luôn xác đinh

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi a

\(T=x-y=\frac{a+2}{a^2+a+6}-\frac{a-2}{a^2+a+6}=\frac{4}{a^2+a+6}=\frac{4}{\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}}\le\frac{4}{\frac{23}{4}}=\frac{16}{23}\)

\(\Rightarrow T_{max}=\frac{16}{23}\) khi \(a+\frac{1}{2}=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)