Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Shinichi Kudo

Cho hcn ABCD. Kẻ AH vuông góc BD (H thuộc BD).

a. Tia pg của góc ADB cắt AH và AB lần lượt tại M và K. Chứng minh:

AK.AM = BK.HM

b/ Gọi O là giao của AC và BD lấy P thuộc AC, dựng hình chữ nhật AEPF (E thuộc AB và F thuộc AD) BF cắt DE ở Q. Chứng minh:

+EF//DB

+A,O,Q thẳng hàng

A B C D H E F P M K Q I

a) Vì AH \(\perp\) BD (gt), ABCD là hình chữ nhật (gt)

=> \(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) = 90o (ĐN 2 đt \(\perp\) và ĐN HCN)

Xét \(\Delta\)HAD và \(\Delta\)ABD có:

\(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) (cmt)

\(\widehat{D}\): chung

=> \(\Delta\)HAD ~ \(\Delta\)ABD (g.g)

=> \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)

Ta có: DK là tia phân giác của 2 \(\Delta\)ADB và \(\Delta\)ADH

=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{DB};\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{DH}{AD}\) (t/c đường p/g \(\Delta\))

\(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (cmt)

=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{HM}{AM}\)

=> AK . AM = HM . BK (t/c TLT)

b) Xét \(\Delta\)ABC có: EP // BC (EP // AF, BC // AD)

=> \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{EP}{BC}=\dfrac{AD}{AC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (1)

Xét \(\Delta\)ADC có: FP // DC (AE // FP, AB // CD)

=> \(\dfrac{AF}{FP}=\dfrac{AD}{DC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\)

=> EF // BD (ĐL Ta-lét đảo)

=> \(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (2 góc so le trong)

Gọi giao điểm của AO và EF là I

mà AEPF là hình chữ nhật (gt)

=> I là trung điểm AP, EF (t/c HCN)

Xét \(\Delta\)EFQ có: EF // BD (cmt)

=> \(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EQ}{DQ}\) (hệ quả ĐL Ta-lét)

\(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EI}{DQ}\) (EF = 2EI, BD = 2DO)

=> \(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\)

Xét \(\Delta\)IQE và \(\Delta\)OQD có:

\(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (cmt)

\(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\) (cmt)

=> \(\Delta\)IQE ~ \(\Delta\)OQD (c.g.c)

=> \(\widehat{IQE}=\widehat{OQD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)

\(\widehat{DQO}+\widehat{OQE}=180^o\) (2 góc kề bù)

do đó \(\widehat{IQE}+\widehat{OQE}=180^o\)

=> I, O, Q thẳng hàng

hay A, O, Q thẳng hàng

*hình mình thiếu điểm O, bạn tự thêm vào nhé*


Các câu hỏi tương tự
X Buồn X
Xem chi tiết
tth
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hương Giang
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết
phamthiminhanh
Xem chi tiết
Lê Thu Trang
Xem chi tiết
Nya arigatou~
Xem chi tiết
MYMY
Xem chi tiết
Ctuu
Xem chi tiết