Question

Cho hàm số :

\(y=x^3+3x^2+m\left(1\right)\)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho \(\widehat{AOB}=120^o\)

Answer 1

Ta có : \(y'=3x^2+6x=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\Rightarrow y=m+4\\x=0\Rightarrow y=m\end{cases}\)

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left(0;m\right);B\left(-2;m+4\right)\)

Ta có \(\overline{OA}=\left(O;m\right);\overline{OB}=\left(-2;m+4\right)\)

Để \(\widehat{AOB}=120^0\) thì \(\cos AOB=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{m\left(m+4\right)}{\sqrt{m^2\left(4+\left(m+4\right)^2\right)}}=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(m=\frac{-12\pm2\sqrt{3}}{3}\) và -4<m<0

\(\Leftrightarrow m=\frac{-12\pm2\sqrt{3}}{3}\)