Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đồ thị (C)
a) Tại giao điểm của (C) với trục Ox
b) Tại giao điểm của (C) với đường thẳng d : y = x+1
c) Biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến \(\Delta\) là lớn nhất
d) \(\Delta\) cắt trục hoành tại A mà OA = 1 với O là gốc tọa độ
Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)
Ta có \(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}\).
Gọi \(M\left(x_o;y_0\right)\) là tiếp điểm
a) Ta có \(y_0=0\Rightarrow x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'\left(x_0\right)=-4\)
Phương trình tiếp tuyến là : \(y=-4x+2\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) :
\(\frac{2x-1}{x-1}=x+1\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\)
* \(x_0=0\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x\left(x-0\right)+1=-x+1\)
* \(x_0=2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+5\)
c) Ta có phương trình của đường thẳng \(\Delta:y-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\)
hay \(\Delta:\frac{1}{\left(x_0-1\right)^2}x+y-\frac{x_0}{\left(x_0-1\right)^2}-\frac{2x_0-1}{x_0-1}=0\)
Ta có : \(d\left(I;\Delta\right)=\frac{\left|\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{\frac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\le\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^4=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=2\end{array}\right.\)
Suy ra có 2 tiếp tuyến là : \(\Delta_1:y=-x+1\)
\(\Delta_2:y=-x+5\)
d) Ta có : \(\Delta Ox=A\left(2x^2_0-2x_0+1;0\right)\)
\(OA=1\Leftrightarrow\left|2x^2_0-2x_0+1\right|=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=0\\x_0=1\end{array}\right.\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến là : \(y=-x+1\)
