Lời giải:
Đặt \(y=f(x)=\frac{2x-1}{x-1}\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}\)
PTTT với (C) tại tiếp điểm $(x_0,y_0)$ là:
\((d): y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\frac{-1}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\)
\(\Leftrightarrow (d): \frac{-x}{(x_0-1)^2}-y+\frac{2x_0^2-2x_0+1}{(x_0-1)^2}=0\)
Có: \(d(O,(d))=\frac{|\frac{-0}{(x_0-1)^2}-0+\frac{2x_0^2-2x_0+1}{(x_0-1)^2}|}{\sqrt{\frac{1}{(x_0-1)^4+1}}}=1\)
\(\Leftrightarrow |2x_0^2-2x_0+1|=\sqrt{(x_0-1)^4+1}\)
\(\Leftrightarrow [x_0^2+(x_0-1)^2]^2=(x_0-1)^4+1\)
\(\Leftrightarrow x_0^4+2x_0^2(x_0-1)^2=1\)
\(\Leftrightarrow (x_0-1)[(x_0+1)(x_0^2+1)+2x_0^2(x_0-1)]=0\)
Vì $x_0\neq 1$ nên $(x_0+1)(x_0^2+1)+2x_0^2(x_0-1)=0$
\(\Leftrightarrow 3x_0^3-x_0^2+x_0+1=0(*)\)
Xét hàm số \(g(x)=3x^3-x^2+x+1\)
\(g'(x)=9x^2-2x+1>0\) với mọi $x\in\mathbb{R}\neq 1$ nên PT $g(x)=3x^3-x^2+x+1=0$ có 1 nghiệm duy nhất, hay PT $(*)$ có duy nhất 1 $x_0$ thỏa mãn, kéo theo có duy nhất 1 tiếp tuyến thỏa mãn đkđb.
