Cho hàm số \(y=f\left(x\right);y=f\left(f\left(x\right)\right);y=f\left(x^2-4\right)\). Giả sử 3 hàm số lần lượt có đồ thị \(\left(C_1\right),\left(C_2\right),\left(C_3\right)\). Đường thẳng \(x=1\) cắt \(\left(C_1\right),\left(C_2\right),\left(C_3\right)\) lần lượt tại M, N, P; biết tiếp tuyến tại M, N lần lượt là \(y=4x-7;y=24x+5\). Phương trình tiếp tuyến tại P là:
A. \(y=12x+17\)
B. \(y=15x-3\)
C. \(y=17x-5\)
D. \(y=9x+17\)
Do tiếp tuyến tại M là \(y=4x-7\Leftrightarrow y=4\left(x-1\right)-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(1\right)=4\\f\left(1\right)=-3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=f'\left(x\right).f'\left(f\left(x\right)\right)\)
Do tiếp tuyến tại N là \(y=24x+5=24\left(x-1\right)+29\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g'\left(1\right)=24\\g\left(1\right)=29\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(1\right).f'\left(f\left(1\right)\right)=24\\f\left(f\left(1\right)\right)=29\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(-3\right)=6\\f\left(-3\right)=29\end{matrix}\right.\)
Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x^2-4\right)\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2-4\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h'\left(1\right)=2.1.f'\left(-3\right)=12\\h\left(1\right)=f\left(-3\right)=29\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến tại P:
\(y=12\left(x-1\right)+29\Leftrightarrow y=12x+17\)
