Question

Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\), viết phương trình tiếp tuyến  \(\Delta\)  của (C) biết

a)  \(\Delta\)  vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{8}x-1\)

b) \(\Delta\)  tạo với 2 đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\) và \(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1;d_2\)

Answer 1

Tập xác định : \(D=R\)

Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)

Hệ số gọc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

a) Vì  \(\Delta\perp d\)  nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)

\(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

b) Phân giác của 2 đường \(d_1;d_2\) là :

\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)

Từ giả thiết suy ra \(\Delta\)  vuông góc với các đường phân giác của  \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\)  không đi qua giao điểm của   \(d_1;d_2\))

* Trường hợp 1: Với k = 1 ta có \(-4x_0^3-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)

                        Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)

* Trường hợp 2: Với k = -1 ta có \(-4x_0^3-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)

                        Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)