Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) và thoả mãn \(f\left(1\right)=-62\), \(f\left(x\right)< 0\), \(\left[-\left(2x+1\right)^4+2\left(2x+1\right)^2+1\right]f'\left(x\right)+\left(64x^3+96x^2+32x\right)f\left(x\right)=0\) với mọi \(x\in\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) . Khẳng định nào sau đây đúng

\(A.f\left(2\right)=-32\)

\(B.f\left(2\right)=-125\)

\(C.f\left(2\right)=-574\)

\(D.f\left(2\right)=-115\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 11 2020 lúc 21:49

Đề đúng chứ bạn?

Biểu thức \(-\left(2x+1\right)^4+2\left(2x+1\right)^2+1\) chắc chắn đúng chứ?

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 11 2020 lúc 11:54

\(\left[\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right]f'\left(x\right)=\left(64x^3+96x^2+32x\right)f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{64x^3+96x^2+32x}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}=\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx\)

\(\Leftrightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx\)

Xét \(I=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx=\int\frac{4\left(2x+1-1\right)\left(2x+1+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}d\left(2x+1\right)\)

Đặt \(t=2x+1\Rightarrow I=\int\frac{4\left(t-1\right)\left(t+1\right)t}{t^4-2t^2-1}dt=\int\frac{4t^3-4t}{t^4-2t^2-1}dt\)

\(=\int\frac{d\left(t^4-2t^2-1\right)}{t^4-2t^2-1}=ln\left|t^4-2t^2-1\right|+C\)

\(=ln\left|\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right|+C\)

\(\Rightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=ln\left|\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right|+C\)

Thay \(x=1\Rightarrow ln\left(62\right)=ln\left(62\right)+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=ln\left[\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-\left(2x+1\right)^4+2\left(2x+1\right)^2+1\)

\(f\left(2\right)=-574\)


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết