Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left(-4;+\infty\right)\) và thoả mãn f(-3)=3, f(x)>0, f'(x)>0, \(\frac{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2\sqrt{x+4}+1}{f'\left(x\right)}\) với mọi \(x\in\left(-4;+\infty\right)\) . Khẳng định nào sau đây đúng

\(A.f\left(5\right)\in\left(11;13\right)\)

\(B.f\left(5\right)\in\left(12;14\right)\)

\(C.f\left(5\right)\in\left(13;15\right)\)

\(D.f\left(5\right)\in\left(14;16\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 11 2020 lúc 13:16

\(\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế: \(\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

Xét \(I=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}.\frac{1}{\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

Đặt \(\sqrt{x+4}+x+5=t\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2\sqrt{x+4}}+1\right)dx=dt\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}dx=dt\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{dt}{t}=lnt+C=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)

\(\Rightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)

Thế \(x=-3\) vào biểu thức trên:

\(ln\left(3\right)=ln\left(2+1\right)+C\Leftrightarrow C=0\)

\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x+5+\sqrt{x+4}\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)=13\)


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Kim Anh Võ
Xem chi tiết