Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Anh Kim Hân

Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2-xy=4\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \(P=x^2+y^2\)

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 11 2019 lúc 18:01

Bài này số thực dương thì chỉ tìm được GTLN, còn GTNN chỉ tồn tại khi x;y là số thực bất kì

\(x^2+y^2-xy=4\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}\le4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le8\)

\(\Rightarrow P_{max}=8\) khi \(x=y=2\)

Nếu bỏ điều kiện x;y dương thì sử dụng miền giá trị tìm ca min lẫn max:

Từ điều kiện ban đầu suy ra x;y đều khác 0

\(\frac{P}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=a\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{a^2+1}{a^2-a+1}\Leftrightarrow\left(P-4\right)a^2-Pa+P-4=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(P-4\right)^2\ge0\Leftrightarrow-3P^2+32P-64\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}\le P\le8\)

\(P_{max}=8\) khi \(x=y=\pm2\)

\(P_{min}=\frac{8}{3}\) khi \(x=-y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) và hoán vị

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Khôi Trần
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Zenitisu
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết