Lời giải:
Có \(4x^3+x=12y^3+y\)
\(\Leftrightarrow 4(x^3-y^3)+(x-y)=(2y)^3\)
\(\Leftrightarrow 4(x-y)(x^2+xy+y^2)+(x-y)=(2y)^3\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(4x^2+4xy+4y^2+1)=(2y)^3(*)\)
Giả sử $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$
Do \(4x^2+4xy+4y^2+1\) lẻ nên $p$ lẻ.
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x-y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.(1)\). Lại có $(*)$ suy ra \((2y)^3\vdots p\Rightarrow y^3\vdots p\Rightarrow y\vdots p(2)\) (vì $p$ nguyên tố lẻ)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots p\\ y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\)
Hoàn toàn vô lý vì $p$ là số nguyên tố
Tức là giữa $x-y,4x^2+4xy+4y^2+1$ không tồn tại ước nguyên tố chung, nghĩa là chúng nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng lại là một số lập phương \((2y)^3\), do đó bản thân mỗi số $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$ cũng là một lập phương của số nguyên
Do đó ta có đpcm.
