Cho hai số a,b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2\ge5\end{matrix}\right.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=a^4+b^4+6a^2b^2\) ?
Source (my question :v) : Question by Searching4You - Discuss with MathYouLike
Bạn nào giải được mình tặng 2 GP nhé :)
Ta có:a+b=3
<=>\(\left(a+b\right)^2=3^2\)
<=>\(a^2+2ab+b^2=9\)
<=>\(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\)
Vì\(a^2+b^2\)lớn hơn bằng 5 mà \(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\) nên 2ab lớn hơn hoặc bằng 4
Ta lại có:\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)
=\(\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)
=\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)
Với mọi giá trị của a;b thì:
\(\left(a^2+b^2\right)^2\)lớn hơn bằng 25;\(\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 16
=>\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 41
Hay P lớn hơn bằng 41 với mọi a;b
Để P=4 thì \(a^2+b^2=5\) và 2ab=4
Giải tìm a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41 đạt đc khi và chỉ khi a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2
Làm bừa chả biết đúng hay sai nữa
Ta có:
\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le2\)
Ta có:
\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)
\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)
\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)
Đặt ab = x thì ta có
\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)
\(=\left(8x^2-32x+32\right)+49-4x\)
\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x\ge49-4.2=41\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Bạn Hung Nguyen làm đúng rồi nhé :)
Lời giải (mới :V) :
Vì a + b = 3 => \(a^2+b^2+2ab=9\Rightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=36\)
mà \(a^2+b^2\ge5\Rightarrow a^2+b^2+4\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\)
\(\Rightarrow5\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\left(1\right)\)
Ta có : \(P=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)
Áp dụng BĐT \(A^2+B^2\ge2AB\) ta có :
\(\left[4\left(a^2+b^2\right)\right]^2+\left[5\left(2ab\right)\right]^2\ge3\cdot4\left(a^2+b^2\right)+5\cdot\left(2ab\right)=40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\)
\(\Rightarrow16\left(a^2+b^2\right)^2+25\left(2ab\right)^2\ge40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)
\(\Rightarrow41\left(a^2+b^2\right)^2+41\left(2ab\right)^2\ge25\left(a^2+b^2\right)^2+16\left(2ab\right)^2+40\left(a^2+b^2\right)\left(2ab\right)\)
\(\Rightarrow41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge\left[5\left(a^2+b^2\right)+4\left(2ab\right)^2\right]\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge41^2\)
\(\Rightarrow P\ge41\)
Vậy MinP = 41 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2=5\\4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le2\)
Ta có:
\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)
\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)
\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)
Đặt ab = x thì ta có
\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)
\(=\left(8x-32x+32\right)+49-4x\)
\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x^2\ge49-4.2=41\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
