Chương IV - Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đức Minh

Cho hai số a,b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2\ge5\end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=a^4+b^4+6a^2b^2\) ?

Source (my question :v) : Question by Searching4You - Discuss with MathYouLike

Bạn nào giải được mình tặng 2 GP nhé :)

Nguyễn Thị Hồng Nhung
16 tháng 8 2017 lúc 18:22

Ta có:a+b=3

<=>\(\left(a+b\right)^2=3^2\)

<=>\(a^2+2ab+b^2=9\)

<=>\(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\)

\(a^2+b^2\)lớn hơn bằng 5 mà \(\left(a^2+b^2\right)+2ab=9\) nên 2ab lớn hơn hoặc bằng 4

Ta lại có:\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

=\(\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

=\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Với mọi giá trị của a;b thì:

\(\left(a^2+b^2\right)^2\)lớn hơn bằng 25;\(\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 16

=>\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)lớn hơn bằng 41

Hay P lớn hơn bằng 41 với mọi a;b

Để P=4 thì \(a^2+b^2=5\) và 2ab=4

Giải tìm a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41 đạt đc khi và chỉ khi a=2 ;b=1 hoặc a=1;b=2

Làm bừa chả biết đúng hay sai nữa

 

Hung nguyen
16 tháng 8 2017 lúc 19:13

Ta có:

\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le2\)

Ta có:

\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)

\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)

Đặt ab = x thì ta có

\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)

\(=\left(8x^2-32x+32\right)+49-4x\)

\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x\ge49-4.2=41\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

Đức Minh
16 tháng 8 2017 lúc 22:25

Bạn Hung Nguyen làm đúng rồi nhé :)

Lời giải (mới :V) :

Vì a + b = 3 => \(a^2+b^2+2ab=9\Rightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=36\)

\(a^2+b^2\ge5\Rightarrow a^2+b^2+4\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\)

\(\Rightarrow5\left(a^2+b^2\right)+8ab\ge41\left(1\right)\)

Ta có : \(P=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Áp dụng BĐT \(A^2+B^2\ge2AB\) ta có :

\(\left[4\left(a^2+b^2\right)\right]^2+\left[5\left(2ab\right)\right]^2\ge3\cdot4\left(a^2+b^2\right)+5\cdot\left(2ab\right)=40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow16\left(a^2+b^2\right)^2+25\left(2ab\right)^2\ge40\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left(a^2+b^2\right)^2+41\left(2ab\right)^2\ge25\left(a^2+b^2\right)^2+16\left(2ab\right)^2+40\left(a^2+b^2\right)\left(2ab\right)\)

\(\Rightarrow41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge\left[5\left(a^2+b^2\right)+4\left(2ab\right)^2\right]\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(41\left[\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\right]\ge41^2\)

\(\Rightarrow P\ge41\)

Vậy MinP = 41 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2+b^2=5\\4\left(a^2+b^2\right)=5\left(2ab\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hung nguyen
16 tháng 8 2017 lúc 19:09

Ta có:

\(9=a^2+b^2+2ab\ge5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le2\)

Ta có:

\(P=a^4+b^4+6a^2b^2\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2+4a^2b^2\)

\(=\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)^2+4a^2b^2\)

Đặt ab = x thì ta có

\(P=\left(9-2x\right)^2+4x^2=8x^2-36x+81\)

\(=\left(8x-32x+32\right)+49-4x\)

\(=8\left(x-2\right)^2+49-4x^2\ge49-4.2=41\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Châu Mỹ Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Châu Mỹ Linh
Xem chi tiết
nguyenhongvan
Xem chi tiết
Phạm Hải Anh
Xem chi tiết
Lê Đức Mạnh
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết
trung dũng trần
Xem chi tiết
Chii Phương
Xem chi tiết
Trương Nguyên Đại Thắng
Xem chi tiết