Question

cho hai số a,b dương thỏa mãn a + b = 2. tìm GTNN biểu thức

                                   B = √a^3+√b^3

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a^3}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{a^3}.\sqrt{a}}=2a$

$\sqrt{b^3}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{b^3}.\sqrt{b}}=2b$

Cộng hai BĐT trên ta có:

$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2(a+b)$

$\Rightarrow B+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 4(1)$

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (a+b)(1+1)=2.2=4\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow B\geq 4-2=2$

Vậy $B_{\min}=2$.