Question

Cho hai đường tròn \(C_1\left(F_1;R_1\right)\) và \(C_2\left(F_2;R_2\right)\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1\ne F_2\). Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip ?

Answer 1

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C₁ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₁ = R₁+ R (1)

(C) và C₂ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₂ = R₂ – R (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được

MF₁ + MF₂ = R₁+ R₂= R không đổi

Điểm M có tổng các khoảng cách MF₁ + MF₂ đến hai điểm cố định F₁ và F₂ bằng một độ dài không đổi R₁+ R₂

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F₁ và F₂ và có tiêu cực :

F_{1 .}F₂ = R₁+ R₂