Cho góc xOy nhọn, gọi Ot là tia phân giác của góc xOy, A là 1 điểm bất kì thuộc tia Ot, kẻ AB⊥Ox, AC⊥Oy
a) Chứng minh Ab = Ac và ΔOBC cân
b) CA cắt Õ tại M, BA cắt Oy tại N. Chứng minh Am = An ; Cn = BM và suy ra OM = ON
c) Gọi H là giao điểm của OA và MN. Chứng minh ΔOHM = ΔOHN
d) Chứng minh OH ⊥ MN
e) Chứng minh AH là phân giác góc MAN
a. Vì \(AB\perp Ox\Rightarrow\widehat{OBA}=\widehat{ABM}=90^o\)
\(AC\perp Oy\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{ACN}=90^o\)
Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\Rightarrow\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)
Xét △ OAB và △ OAC có :
\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^o\)(cmt)
\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) (cmt)
OA chung
=> △ OAB = △ OAC ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> AB = AC ( 2 cạnh tương ứng )
Vì △OAB = △OAC (cmt)
=> OB = OC ( 2 cạnh tương ứng)
=> △ OBC cân tại O
b. Xét △ACN và △ABM có :
\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}=90^o\) (cmt)
AB = AC ( cmt )
\(\widehat{CAN}=\widehat{BAM}\) ( đối đỉnh )
=> △ACN = △ABM ( cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
=> AN = AM ; CN = BM ( 2 cạnh tương ứng )
Ta có :
\(\begin{matrix}OB=OC\\BM=CN\end{matrix}\Rightarrow OB+BM=OC+CN\)
=> ON = OM
c. Xét △OHM và △OHN có :
OM = ON (cmt)
\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) (cmt)
OH chung
=> △OHM = △OHN (c-g-c)
d. Vì △OHM = △OHN (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\) ( 2 góc tương ứng )
mà \(\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow2\widehat{H_1}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{H_1}=180^o:2=90^o\)
\(\Rightarrow OH\perp MN\)
e. Vì △OHM = △OHN (cmt)
=> HM = HN ( 2 cạnh tương ứng )
Xét △AHM và △AHN có :
\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\) (cmt)
HM = HN (cmt)
AH chung
=> △AHM = △AHN ( 2 cạnh góc vuông )
=> \(\widehat{NAH}=\widehat{MAH}\) ( 2 góc tương ứng )
=> AH là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
Xét \(\Delta OBA\) và \(\Delta OCA\) có :
\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)(gt)
OA : cạnh chung
\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\) (gt)
\(\Rightarrow\Delta OBA=\Delta OCA\) (\(ch-gn\))
\(\Rightarrow\) AB = AC
Vì \(\Delta OBA=\Delta OCA\)
\(\Rightarrow OB=OC\)
Xét \(\Delta OBC\) có :
OB = OC
\(\Rightarrow\Delta OBC\) là tam giác cân tại O
Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CAN\) có :
\(\widehat{MBA}=\widehat{NCA}=90^0\)
BA = AC (\(\Delta OBA=\Delta OCA\))
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta BAM=\) \(\Delta CAN\) (g . c . g)
\(\Rightarrow\) MA = NA
Vì \(\Delta BAM=\) \(\Delta CAN\)
\(\Rightarrow\) CN = BM
Xét \(\Delta OHM\) và \(\Delta OHN\) có :
OH : cạnh chung
\(\widehat{MOH}=\widehat{NOH}\) (gt)
Vì OB = OC(cmt)
Mà BM = CN (cmt)
\(\Rightarrow\) OB + BM = OC + CN
\(\Leftrightarrow\) OM = ON
\(\Rightarrow\) \(\Delta OHM=\Delta OHN\) (c . g . c)
Vì \(\Delta OHM=\Delta OHN\)
\(\Rightarrow\widehat{OHM}=\widehat{OHN}\)
Mà \(\widehat{OHM}+\widehat{OHN}=180^0\) (2 góc kề bù)\(\Rightarrow\widehat{OHM}=\widehat{OHN}=\dfrac{1}{2}\times180^0=90^0\)
\(\Rightarrow\) \(OH\perp MN\)
Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta NHA\) có :
\(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}=90^0\)
AH : cạnh chung
MH = NH (\(\Delta OHM=\Delta OHN\))
\(\Rightarrow\Delta MHA=\Delta NHA\) (c . g . c)
\(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)
\(\Rightarrow\) AH là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
