Cho góc xAy = 90o, C là 1 điểm \(\in\) tia phân giác Az của góc xAy. D là hình chiếu của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD + AB. Trên Dx lấy điểm E sao cho DE = QB. Chứng minh rằng :
a/ Tam giác CDE = tam giác CBQ.
b/ PC là phân giác của góc DPQ.
c/ Góc PCQ = 45o.
a) Vì C thuộc tia phân giác Az của \(\widehat{xAy}\) nên CD = CB
Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CBQ\) có:
\(\widehat{D}=\widehat{B}=90^0\)
ED = QB(gt)
CD = CB (cmt)
=> \(\Delta CDE=\Delta CBQ\left(c.g.c\right)\)
b) Ta có AP + PQ + AQ = AD + AB (gt) (1)
lại có: DP + AP + AQ + QB = AD + AB (2)
Từ (1) và (2) => PQ = DP + BQ
hay PQ = DP + DE = EP (do DE = BQ gt)
Xét \(\Delta ECP\) và \(\Delta QCP\) có
EC = QC ( do \(\Delta CDE=\Delta CBQ\) (câu a) )
EP = PQ (cmt)
PC cạnh chung
=> \(\Delta ECP\) = \(\Delta QCP\) (c.c.c)
=> \(\widehat{P_1}=\widehat{P_2}\)
=> PC là phân giác của \(\widehat{DPQ}\)
c) Tứ giác ADCB có \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{B}=90^0\) => \(\widehat{C}=90^0\)
Vì \(\Delta CDE=\Delta CBQ\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
mà \(\widehat{C_2}+\widehat{DCQ}=90^0\)
=> \(\widehat{C_1}+\widehat{DCQ}=90^0\)
hay \(\widehat{ECQ}=90^0\)
Mặt khác: \(\Delta ECP\) = \(\Delta QCP\) (c.c.c)
=> \(\widehat{PCQ}=\widehat{ECP}=\widehat{\frac{ECQ}{2}}=\frac{90^0}{2}=45^0\)
