Lời giải:
Ta có:
\(f(x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1\)
\(f(x)=[(x+2)(x+5)][(x+3)(x+4)]+1\)
\(f(x)=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)+1\)
Đặt \(x^2+7x+10=a\). Khi đó:
\(f(x)=a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2\)
\(=(x^2+7x+11)^2\) là một số chính phương.
Vậy $f(x)$ luôn là số chính phương với mọi $x$ nguyên.
bài 1: tìm các giá trị của m để biểu thức \(f\left(x\right)=x^2+\left(m+1\right)x+2m+7>0\) đúng với mọi x thuộc R
bài 2: cho bất phương trình \(x^2-6x+\sqrt{-x^2+6x-8}+m-1\ge0\) xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc [2;4]
bài 3: cho hàm số f(x)=\(-x^2+4\left|x-1\right|+x\). gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên [-3;3] lần lượt là M và m. Giá trị biểu thức 4M+2m-3 bằng ?
Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\) nếu x + y + z = xyz
Cho a,b,c là các số thực và \(a\ne0\). Chứng minh rằng nếu đa thức \(f\left(x\right)=a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c\) vô nghiệm thì phương trình \(g\left(x\right)=ax^2+bx-c\) có hai nghiệm trái dấu
Cho f(x)=x^2+2mx+m+6
Tìm m để f(x) > 0 với mọi x thuộc R
Cho tập hợp E= {-3;4}, F= {-3; x2} G= {-3; x2; y}. Tìm x, y, z để E=F=G
Cho tam thức f(x) = \(2x^2-3x+1\) . Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng ?
A,f(x) > 0 với \(\forall x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
B,\(f\left(x\right)>0\) với \(\forall x\in\left(-\infty;1\right)\)
C, f(x) < 0 với \(\forall x\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(2;+\infty\right)\)
D,f(x) >0 với \(\forall x\in\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 4/x + x/1-x với 1>x>0 chỉ rõ cho em với ạ càng chi tiết càng tốt
Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^4-\left(m+2\right)x^3+mx+3\). Trong trường hợp giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất, tính f(3)
Giải hệ phương trình sau:
\(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^2-1}\)
Gợi ý: Phương pháp đặt ẩn phụ:
\(\left\{{}\begin{matrix}u=\sqrt{f\left(x\right)}\\v=\sqrt{g\left(x\right)}\end{matrix}\right.\) với điều kiện là \(f\left(x\right)\ge0,g\left(x\right)\ge0\)Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp bậc hai \(au^2+\beta v^2+\gamma uv=0\) rồi tiếp tục giải.
