Cho đường tròn tâm O và dây BC cố định. lấy điểm A ở chính giữa cung BC nhỏ và M trên cung BC lớn sao cho MC >= MB. Đường MA cắt tiếp tuyến qua C của đường tròn tâm O và BC lần lượt tại Q, I. Đường MB cắt CA tại P.
a. Chứng minh rằng PQCM nội tiếp và PQ song song với BC
b. Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại C ở N. Chứng minh 1/CI +1/CQ=1/CN
c. Chứng minh rằng MB.MC=IB.IC+IM^2
d. Khi M di động, tìm vị trí M để bán kính đường trong ngoại tiếp tam giác MBI có độ dài max
Cho tam giác ABC cân tại B có AB < AC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi (d) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A. Một đường thẳng song song với (d) cắt các cạnh AB, AC và đường thẳng BC lần lượt tại D, E và I. a) Chứng minh rằng số do hai cung nhỏ BA và BC bằng nhau. b) Chứng minh rằng góc ABC = AED. c) Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp. d) Chứng minh rằng IB.IC =
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), gọi M là điểm chính giữa cung AC. Tia BM cắt AC tại E cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại F. OM cắt AC tai K. 1) Chứng minh tứ giác AHOK nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác CEF cân 3) Chứng minh OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB
Bài 1: Cho (O;R) đường kính AB. Góc I là diểm nằm giữa A và O. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với OA. Dụng các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn. Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh 4 điểm A,E,C,O cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Tính độ dài CI biết AB =20 cm , AI =4cm
c) Cm góc ÈO=90 độ và AE.BE=R^2
Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O). Qua điểm M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O), tức là đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường tròn tại hai điểm là C, D). Gọi I là trung điểm của dây CD, Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp hay không ?
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Đường trung trực của OA cắt (O) tại C, D và cắt OA tại E. Gọi K thuộc cung BC nhỏ của (O), AK cắt CE tại H.
1. Chứng minh: Tứ giác BEHK nội tiếp.
2. Chứng minh: AC2 = AH. AK và AC = R.
3. Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK luôn thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cung BC nhỏ của (O).
Cho đường tròn (O,3cm) và điểm S cách O một khoảng bằng 5cm. Qua S kẻ tiếp tuyến SB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với OS cắt OS và (O) lần lượt tại K, C. a, Tính BC b, Chứng minh SC là tiếp tuyến của (O) c, Lấy N là điểm bất kì trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đường tròn cắt SB, SC lần lượt tại E và F. Tính chu vi tam giác SEF
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt (O’) tại C và D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tại E và F. a. Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Chứng minh rằng . b. Gọi M là điểm chính giữa của cung CD (M và A khác phía đối với CD). Chứng minh rằng .
Cho đường tròn ( O : R) và điểm A nằm cố định bên ngoài đường tròn .Qua A vẽ cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C ), AM , AN là các tiếp tuyến với O , gọi H là trung điểm của BC.
a,chứng minh AM^2 = AB.AC
b, chứng minh tứ giác AHMN nội tiếp
c, đường thẳng B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh rằng EH // MC .
d, Khi cát tuyến ABC quay quanh Atì trọng tâm tam giácMBC chuyển động trên đường nào
cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn o, đường cao BD, CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại F, gọi M,N lần lượt là hình chiếu của B,C lên tiếp tuyến tại A của (o). Chứng minh 3 đường MD, NE, AH đồng quy
