Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
One_Blast

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn ( M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d qua A cắt đường
tròn (O;R) tại B và C ( AB<AC ). Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng qua B , song song với AM cắt MN tại E .
a) Chứng minh 5 điểm A , M , O, I , N thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AB.AC=\(AM^2\)
c) Chứng minh IE // MC .
d) Chứng minh rằng khi đường thẳng d quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường tròn cố định.

Nguyễn Thanh Hằng
1 tháng 8 2020 lúc 10:47

Violympic toán 9

a/ Xét tứ giác \(AMON\) có :

\(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^0\)

\(\widehat{AMO};\widehat{ANO}\) là 2 góc đối diện

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp

\(\Leftrightarrow\) 4 điểm A, M, O, N cùng thuộc 1 đường tròn \(\left(1\right)\)

Xét (O, R) có :

I là trung điểm của dây cung BC

\(\Leftrightarrow OI\perp BC\)

Xét tam giác OIA có : \(\widehat{OIA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\) 3 điểm O, I, A cùng thuộc 1 đường tròn \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\) 5 điểm \(A,M,O,I,N\) cùng thuộc 1 đường tròn

b/ Ta có :

\(\widehat{BMA}=\widehat{MCA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Xét \(\Delta MBA;\Delta CMA\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAM}chung\\\widehat{BMA}=\widehat{MCA}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta MBA\infty\Delta CMA\left(\left(g.g\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AM^2\left(đpcm\right)\)

c/ Ta có :

\(BE\backslash\backslash AM\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{EBI}\)

Lại có : \(\widehat{MAB}=\widehat{MNB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MNB}=\widehat{EBI}\)

\(\Leftrightarrow MNIE\) là tứ giác nội tiếp

\(\Leftrightarrow\widehat{EIB}=\widehat{ENB}\)

\(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EIB}=\widehat{MCB}\)

Mà đây là 2 góc đồng vị

\(\Leftrightarrow IE\backslash\backslash MC\left(đpcm\right)\)


Các câu hỏi tương tự
nguyenthienho
Xem chi tiết
Vũ Thị Minh Anh
Xem chi tiết
Thành
Xem chi tiết
NT Ánh
Xem chi tiết
Đăng Trần
Xem chi tiết
Vũ Thúy Hằng
Xem chi tiết
hoàng tử gió 2k7
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết