Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ 2 tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm). Một đường thằng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B và C(AB<AC, d không đi qua tâm O)
1) CM: từ giác AMON nội tiếp
2) Gọi P là giao điểm của AO và MN. CM: AP.AO=AB.AC
3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. CM: MT//AC
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. CM: K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thoản mãn điều kiện đề bài
*1
AM tiếp xúc với (O) tại M =>^AMO=90º.
AN tiếp xúc với (O) tại N =>^ANO=90º.
=>tg AMON nội tiếp đường tròn đg kính AO với tâm J là trung điểm của AO.
*2
^ANB =^ACN (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung NB).
=>∆ANB ~∆ACN (g.g) =>AN/AC =AB/AN =>AN² =AB.AC.
*3
I là trung điểm của BC =>OI┴BC =>^AIO =90º =>I nằm trên đường tròn (J) đường kính AO.
=>^NIA =^NOA (góc nội tiếp (J) cùng chắn cung NA).
^NOA =^MOA (do ∆NOA=∆MOA vì hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AO và hai cạnh góc vuông OM =ON)
=>^NOA =^NOM/2.
^NTM =^NOM/2 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung NM.
=>^NIA =^NTM =>MT // AC (góc vị trí đồng vị bằng nhau).
*4
∆KBO =∆KCO (hai tam giác vuông chung cạnh huyền KO và hai cạnh góc vuông OB và OC bằng nhau).
=>KB=KC =>KO là trung trực của BC =>KO đi qua I.
∆KCO ~∆CIO (g.g - hai tam giác vuông chung góc nhọn tại O) =>OC/IO =OK/OC =>OI.OK=OC².
OI.OK=OC² =>OI.OK=ON² =>OI/ON =ON/OK =>∆NKO ~∆INO =>^NKO =^INO.
OI.OK=OC² =>OI.OK=OM² =>OI/OM =OM/OK =>∆MKO ~∆IMO =>^MKO =^IMO.
^IMO =^INO (góc nội tiếp (J) cùng chắn cung IO)
=>^MKO =^NKO =>K, M, N thẳng hàng =>K luôn nằm trên đường thẳng MN khi d thay đổi.
