Ôn tập góc với đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thy Mỹ An

Cho đường tròn (O ; R) và A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N) và AMN không đi qua O. Gọi I là trung điểm MN.

a) CM : 5 điểm A, B, O, I, C cung thuộc đường tròn

b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AM, AN trong trường hợp MN = R\(\sqrt{3}\)

c) BC cắt AO và OI tại H và K. CM : OH.OA = OI.OK = \(R^2\)

d) CM : KM, KN lần lượt là tiếp tuyến của (O)

Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 0:13

Lời giải:

a)

Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(OB\perp AB, OC\perp AC\)

\(\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)

Tứ giác $ABOC$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\) nên $ABOC$ là tứ giác nội tiếp, hay $A,B,O,C$ đồng viên (1)

Mặt khác:

$I$ là trung điểm của dây cung $MN$ nên $OI\perp MN$

\(\Rightarrow \widehat{AIO}=90^0\)

Tứ giác $ABIO$ có \(\widehat{ABO}=\widehat{AIO}(=90^0)\) và cùng nhìn cạnh $AO$ nên $ABIO$ là tứ giác nội tiếp, hay $A,B,I,O$ đồng viên (2)

Từ (1); (2) suy ra $A,B,I,O,C$ đồng viên (hay cùng thuộc 1 đường tròn)

b)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABO$ vuông tại $B$:

\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=\sqrt{(3R)^2-R^2}=2\sqrt{2}R\)

Xét tam giác $ABM$ và $ANB$ có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó, trong TH này chính là tiếp tuyến $BA$ và dây cung $BM$)

\(\Rightarrow \triangle ABM\sim \triangle ANB(g.g)\Rightarrow \frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}\)

\(\Leftrightarrow AM.AN=AB^2=8R^2\)

\(\Leftrightarrow AM(AM+MN)=8R^2\Leftrightarrow AM(AM+R)=8R^2\)

\(\Rightarrow AM=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}R\)

\(AN=AM+MN=\frac{1+\sqrt{33}}{2}R\)

c)

\(OB=OC=R\)

\(AB=AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow OA\) là trung trực của $BC$

\(\Rightarrow OA\perp BC\) tại $H$ \(\Rightarrow \widehat{AHK}=90^0\)

Tứ giác $AKIH$ có \(\widehat{AIK}=\widehat{AHK}=90^0\) và cùng nhìn cạnh $AK$ nên $AKIH$ là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow OI.OK=OH.OA\)

d)

Xét tam giác vuông $ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$, áp dụng công thức hệ thức lượng ta có \(OH.OA=OB^2=R^2=OM^2\)

\(OI.OK=OH.OA\) (cmt)

\(\Rightarrow OI.OK=OM^2\) \(\Rightarrow \frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OK}\)

Xét tam giác $OMI$ và $OKM$ có:

\(\widehat{O}\) chung

\(\frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OK}\)

\(\Rightarrow \triangle OMI\sim \triangle OKM(c.g.c)\Rightarrow \widehat{OMI}=\widehat{OKM}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{OMI}=90^0-\widehat{KMI}\Leftrightarrow \widehat{OMI}+\widehat{KMI}=90^0\)

\(\Leftrightarrow \widehat{KMO}=90^0\Rightarrow KM\perp OM\). Do đó $KM$ là tiếp tuyến của $(O)$. Hoàn toàn tương tự với $KN$ ta có đpcm.

Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 0:14

Hình vẽ:

Ôn tập góc với đường tròn


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thy Mỹ An
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết
Luu Pin
Xem chi tiết
Hiên Nguyên
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết
Nguyễn Thy Mỹ An
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Tùng
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết