Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Tiền Châu

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. chứng minh rằng

\(\dfrac{DE}{\sqrt{BC.AC}}+\dfrac{EF}{\sqrt{AC.AB}}+\dfrac{FD}{\sqrt{AB.BC}}\le\dfrac{3}{2}\)

Neet
15 tháng 11 2017 lúc 20:07

A B C D E F I S A B C D E H.b

Dễ dàng chứng minh IC,IA,IB lần lượt vuông góc với DE,EF,DF

nên \(DE=2DS=2CD.\sin\dfrac{C}{2}=\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}\)

tương tự với EF và DF,ta cần chứng minh :

\(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}}{\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

có bổ đề :\(\sin\dfrac{A}{2}\le\dfrac{a}{b+c}\) ( H.b)( tự chứng minh)

nên BĐT cần chứng minh : \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).c}{\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

AM-GM: \(\left(a+b\right)\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}.\sqrt{ab}=2ab\)

Tương tự: \(VT\le\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c}{2ab}=\dfrac{\sum ab\left(a+b\right)-\sum a^3}{2abc}\)

Áp dụng BĐT schur: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\)

( cm : \(\Leftrightarrow\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\) và ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)...Google để chi tiết )

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c.( a,b,c>0)

P/s: để ý rằng \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c^2}{2abc}=\sum\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)a}{2abc}=\sum\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\sum\cos A\)


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Quỳnh Ngân
Xem chi tiết
Phàn Tử Hắc
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Quỳnh Ngân
Xem chi tiết
Khánh Luân
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Trà My Nguyễn Thị
Xem chi tiết