Question

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. chứng minh rằng

\(\dfrac{DE}{\sqrt{BC.AC}}+\dfrac{EF}{\sqrt{AC.AB}}+\dfrac{FD}{\sqrt{AB.BC}}\le\dfrac{3}{2}\)

Answer 1

Dễ dàng chứng minh IC,IA,IB lần lượt vuông góc với DE,EF,DF

nên \(DE=2DS=2CD.\sin\dfrac{C}{2}=\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}\)

tương tự với EF và DF,ta cần chứng minh :

\(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}}{\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

có bổ đề :\(\sin\dfrac{A}{2}\le\dfrac{a}{b+c}\) ( H.b)( tự chứng minh)

nên BĐT cần chứng minh : \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).c}{\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

AM-GM: \(\left(a+b\right)\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}.\sqrt{ab}=2ab\)

Tương tự: \(VT\le\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c}{2ab}=\dfrac{\sum ab\left(a+b\right)-\sum a^3}{2abc}\)

Áp dụng BĐT schur: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\)

( cm : \(\Leftrightarrow\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\) và ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)...Google để chi tiết )

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c.( a,b,c>0)

P/s: để ý rằng \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c^2}{2abc}=\sum\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)a}{2abc}=\sum\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\sum\cos A\)