Chương II - Đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thắng Cao

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là một điểm bất kì thuộc (O) (MA<MB), qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, tiếp tuyến tại M cắt d tại N và cắt AB tại K, AM cắt d tại E, OM cắt d tại H. Gọi F là điểm đối xứng với E qua B.

a. Tứ giác OAMN hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh HK//MB.

c. Chứng minh bốn điểm A, H, K, F thuộc một đường tròn.

Akai Haruma
28 tháng 5 2019 lúc 19:27

Hình vẽ:
Đường tròn

Akai Haruma
28 tháng 5 2019 lúc 19:19

Lời giải:

a)

Vì $NB$ vuông góc với $OB$ nên $NB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau $(NB,NM)$ thì $NM=NB$. Mà $OM=OB(=R)$. Do đó $ON$ là trung trực của $MB$

\(\Rightarrow NO\perp MB(1)\)

Mặt khác: \(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AM\perp MB(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow NO\parallel AM\Rightarrow OAMN\) là hình thang.

b)

\(MN\perp OM\Rightarrow NK\perp HM\Rightarrow \widehat{KMH}=90^0\)

\(AB\perp d\Rightarrow KB\perp BH\Rightarrow \widehat{KBH}=90^0\)

Từ 2 điều trên suy ra tứ giác $KMBH$ nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{HMB}=\widehat{OMB}\). Mà \(\widehat{OMB}=\widehat{OBM}\) (do tam giác OMB cân tại O)

\(\Rightarrow \widehat{HKB}=\widehat{OBM}\). Hai góc này ở vị trí so le trong nên $HK\parallel MB$

c)

Từ phần b \(HK\parallel MB\Rightarrow \widehat{KHB}=\widehat{MBN}\) (đồng vị)

\(\widehat{MBN}=\widehat{NOB}(=90^0-\widehat{OBM})\)

\(\Rightarrow \widehat{KHB}=\widehat{NOB}\)

Xét tam giác $KHB$ và $NOB$ có:

\(\widehat{KHB}=\widehat{NOB}\) (cmt)

\(\widehat{KBH}=\widehat{NBO}=90^0\)

\(\Rightarrow \triangle KHB\sim \triangle NOB(g.g)\Rightarrow \frac{KB}{HB}=\frac{NB}{OB}(1)\)

Theo phần a, $AM\parallel ON$ hay $ON\parallel AE$. Áp dụng định lý Ta-let: \(\frac{BN}{BE}=\frac{OB}{BA}\Rightarrow \frac{NB}{OB}=\frac{BE}{BA}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{KB}{HB}=\frac{BE}{BA}\Rightarrow BA.BK=BH.BE=BH.BF\) (BE=BF do tính đối xứng)

\(\Rightarrow AKFH\) là tgnt hay $A,K,F,H$ thuộc 1 đường tròn.


Các câu hỏi tương tự
Quyết Thân Thị
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Huệ
Xem chi tiết
tthnew
Xem chi tiết
Hùng Trần Phi
Xem chi tiết
Nguyễn Duy Khánh
Xem chi tiết
Thuhuyen Le
Xem chi tiết
Minh Phương Hoàng Thị
Xem chi tiết
Nguyễn Nhật Nam
Xem chi tiết
Nguyễn Duy Khánh
Xem chi tiết