Question

Cho đường tròn (C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\) và A (1; -2). Đường thẳng qua A cắt (C) tại M, N. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN

Answer 1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(I\left(2;-3\right)\) lên MN \(\Rightarrow\) theo tính chất đường tròn H là trung điểm MN \(\Rightarrow HM=\frac{1}{2}MN\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(HM=\sqrt{IM^2-IH^2}\Rightarrow MN=2\sqrt{IM^2-IH^2}=2\sqrt{R^2-IH^2}\)

\(\Rightarrow MN_{min}\) khi \(IH_{max}\)

Mặt khác do \(A\in MN\Rightarrow\Delta AIH\) vuông tại H \(\Rightarrow IH\le IA\)

\(\Rightarrow IH_{max}=IA\) khi \(H\) trùng \(A\)

\(IA=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow MN_{max}=2\sqrt{R^2-IA^2}=2\sqrt{9-2}=2\sqrt{7}\)