Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Dương Minh Lộc

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm), cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC. Gọi I là trung điểm của BC. Tia OI cắt cung nhỏ BC tại N, AN cắt BC tại D

a) Cm AD là phân giác của góc BAC

b) Cm MD2 = MB. MC

c) Gọi H, K là hình chiếu của N lên AB và AC. Chứng minh ba điểm H,I,K thẳng hàng

Tô Mì
17 tháng 5 2022 lúc 9:55

a. Ta có ON cắt BC tại I, I là trung điểm của BC, ON là bán kính ⇒ ON ⊥ BC tại I.

Xét △OCI và △OBI :

\(\hat{OIC}=\hat{OIB}=90^o\left(cmt\right)\)

\(IC=IB\left(gt\right)\)

OI chung.

\(\Rightarrow\Delta OCI=\Delta OBI\left(c.g.c\right)\)

⇒ \(\hat{IOC}=\hat{IOB}\) hay : \(\hat{NOC}=\hat{NOB}\Rightarrow\stackrel\frown{NC}=\stackrel\frown{NB}\)

Mà : \(\hat{NAB}\) hay \(\hat{DAB}\) nội tiếp chắn cung NB, \(\hat{NAC}\) hay \(\hat{DAC}\) nội tiếp chắn cung NC.

Vậy : \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\) hay AD là phân giác của góc BAC.

 

b. \(\hat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).

\(\hat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc nội tiếp chắn cung AB).

\(\Rightarrow\hat{MAB}=\hat{ACB}\Leftrightarrow\hat{MAB}=\hat{ACM}\)

Xét △MAB và △MCA :

\(\hat{MAB}=\hat{ACM}\left(cmt\right)\)

\(\hat{M}\) chung

\(=> \Delta MAB \backsim \Delta MCA (g.g)\) \(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Leftrightarrow MA^2=MB.MC\left(a\right)\)

Mặt khác : \(\hat{DAB}=\hat{DAC}\left(cmt\right)\) và \(\hat{DCA}=\hat{MAB}\left(cmt\right)\)

Mà \(\hat{ADM}=\hat{DAC}+\hat{DCA}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).

\(\Rightarrow\hat{ADM}=\hat{DAB}+\hat{MAB}\Leftrightarrow\hat{ADM}=\hat{MAD}\)

⇒ △ADM cân tại M ⇒ \(MA=MD\left(b\right)\)

Từ (a), (b) : Vậy : \(MD^2=MB.MC\left(đpcm\right)\)


Các câu hỏi tương tự
thao taho
Xem chi tiết
ẨN DANH
Xem chi tiết
Wolf 2k6 has been cursed
Xem chi tiết
NO Love
Xem chi tiết
Soda Sữa
Xem chi tiết
Khoa Trần
Xem chi tiết
Hà Thủy Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân Mai
Xem chi tiết
thái
Xem chi tiết