Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Từ điểm A vẽ các tiếp tuyến AB, AC (với B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến AMN với đường tròn (O,R) (với MN không đi qua tâm O và AM bé hơn AN).
1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) CM AM.AN = AB.AB
3) Tiếp tuyến tại điểm M của đường tròn (O,R) cắt đường thẳng BC tại điểm F.
4) Gọi P là giao điểm của d dây BC và dây MN, E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O). Chứng minh ba điểm P, E, O thẳng hàng.
Bạn tự vẽ hình
a) Vì AB,AC là các tiếp tuyến của (O)
Nên: Góc OBA = Góc OCA = 90 độ
=> Góc OBD + góc OCA = 90 +90 = 180 độ
Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Xét tam giác AMB và tam giác ABN
Ta có: Góc BAM chung
Góc ABM = Góc ANB ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BM )
=> Tam giác AMB và ABN đồng dạng (g-g)
=> \(\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=AB^2\) (1)
Vì hai tiếp tuyến AB,AC cắt nhau tại A nên AB = AC
=> AB2=AB.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
