Question

Cho đg thg có pt: (m-2)x+(m-1)y=1 (m là tham số)

a) Cm: khi m thay đổi thì đg thg này luôn đi qua 1 điểm A cố định

b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đg thg này là lớn nhất

Answer 1

a: =>mx-2x+my-y=1

=>m(x+y)-2x-y-1=0

Điểm mà (d) luôn đi qua là: 

x+y=0 và -2x-y-1=0

=>x=-1; y=1

b: \(d\left(O;d\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m-2\right)+\left(m-1\right)\cdot0-1\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2}}\)

Để d(O;d) lớn nhất thì \(\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2}_{MIN}\)

\(y=\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{m^2-4m+4+m^2-2m+1}\)

\(=\sqrt{2m^2-6m+5}\)

\(=\sqrt{2\left(m^2-3m+\dfrac{5}{2}\right)}\)

\(=\sqrt{2\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{4}\right)}=\sqrt{2\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}>=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\)

Dấu = xảy ra khi m=3/2