Question

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. MN là hình chiếu của H trên AB, AC.

a, So sánh AH và MN

b, D đối xứng với H qua AB, E đối xứng với H qua AC. Chứng minh BFDC là hình thang.

c, Trên NC lấy điểm F sao cho NF = HM. Chứng minh EFHA là hình thoi.

Answer 1

a: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

Suy ra: AH=MN

b: Ta có: H và D đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của HD

=>AH=AD

=>ΔAHD cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là tia phân giác của góc HAD(1)

Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của HE

=>AH=AE
=>ΔAHE cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là tia phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAE}=\widehat{HAE}+\widehat{HAD}=2\cdot\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

\(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^0\)

Xét ΔAHC và ΔAEC có 

AH=AE

\(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

Suy ra: \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\)

Xét tứ giác BDEC có BD//EC

nên BDEC là hình thang